ความท้าทายที่ฮิลเบิร์ตกล่าวถึงในปี 1928 คือประเด็นพื้นฐานว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่เราจะพิสูจน์ประโยคจริงทางคณิตศาสตร์ได้ทุกประโยค ฮิลเบิร์ตกำลังหาเครื่องยนต์ความจริง ที่แค่ใส่ประโยคเข้าไปด้านหนึ่ง หมุนที่หมุน นั่งรอ แล้วอีกฝั่งหนึ่งก็จะส่งคำตอบออกมาว่า ถูก หรือ ผิด ถ้าจะให้สมบูรณ์แบบจริงๆ แล้ว ประโยคดั้งเดิมนี้จะต้องเป็นอย่างหนึ่งอย่างใดในสองแบบนี้ นั่นคือมันต้องเป็นข้อเท็จจริงทางคณิตศาสตร์ ซึ่งย่อมอนุมานทางตรรกได้จากสมมติฐานที่มีอยู่ ดังนั้น ตัวประโยคนั้นย่อมเป็นทฤษฎี หรือมิฉะนั้นแล้ว ประโยคนั้นต้องเป็นเท็จ จึงไม่เป็นทฤษฎี ซึ่งหมายความว่าประโยคปฏิเสธของมันจึงเป็นทฤษฎี พูดสั้นๆ ก็คือเครื่องยนต์ความจริงของฮิลเบิร์ตต้องบอกข้อเท็จจริงในทางคณิตศาสตร์ได้อย่างสมบูรณ์ (อะไรที่ถูก ต้องบอกได้ว่ามันถูก อะไรที่ผิด ก็ต้องบอกได้ว่ามันผิด --ผู้แปล) จากการพูดที่โบลอก์ญาในครั้งนั้น ฮิลเบิร์ตวางเงื่อนไขที่เครื่องยนต์ความจริงต้องมี เรียกให้วุ่นวายได้ว่า axiomatic หรือ formal, logical system พร้อมทั้งคำพิพากษาว่า ในที่สุดแล้ว "โปรแกรม"ของเขาจะให้ระบบแบบ axiom ที่สมบูรณ์แบบของคณิตศาสตร์ทั้งหมด

จากการท้าทายกับโลกคณิตศาสตร์นี้ ฮิลเบิร์ตกำลังเน้นย้ำอีกครั้งถึงมุมมองที่ต่างไปจากปัญหาอีกข้อหนึ่งที่ฮิลเบิร์ตประกาศไว้ก่อนหน้านี้ที่การชุมนุมของ ICM ในปารีสเมื่อปี 1900 ปัญหาที่ยังไม่มีคำตอบคือเส้นเลือดใหญ่ของกิจกรรมทางปัญญาทุกแขนง ดังนั้นเพื่อเป็นการจารึกของการเปลี่ยนศตวรรษใหม่ ฮิลเบิร์ตจึงแสดงรายการปัญหา 23 ข้อที่เขาคิดว่าทางแก้จะเป็นความสำคัญใหญ่หลวงต่อการพัฒนาทางคณิตศาสตร์ ปัญหาข้อที่สองในชุดนี้เกี่ยวกับการพิสูจน์ว่าการใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์นั้นเชื่อถือได้ หรืออีกนัยหนึ่ง คือเมื่อเราทำตามกฎการใช้เหตุผลทางคณิตศาสตร์แล้ว เราไม่ควรจะได้ประโยคที่ขัดแย้งกันได้พร้อมกัน นิพจน์ (proposition) และรูปปฏิเสธของมันไม่ควรจะเป็นทฤษฎีได้ด้วยกันทั้งคู่ ซึ่งข้อกำหนดในเรื่องความถูกต้องคงเส้นคงวาของข้อมูลนี่เอง (consistency) เป็นเงื่อนไขจำเป็นสำหรับระบบ axiomatic ใดๆ ก็ตามที่เป็นระบบในใจฮิลเบิร์ต ถ้าหากระบบไม่ถูกต้องคงเส้นคงวา มีการกลับไปกลับมาได้แล้ว นั่นย่อมแปลว่าเป็นไปได้ทั้งนั้นว่าเราจะพิสูจน์ว่าประโยคหนึ่งจะเป็นจริงหรือเท็จก็ได้ สุดแต่ใจเรา ซึ่งย่อมไม่ใช่รากฐานที่มั่นคงในความรู้อันเชื่อถือได้

ตัวอย่างน่าขันในเรื่องความสำคัญของความถูกต้องคงเส้นคงวา คือเบอร์แทรนด์ รัสเซล เคย "พิสูจน์" ดังต่อไปนี้ว่า ถ้า 2+2 = 5 แล้ว เขาก็คือโปป สิ่งที่รัสเซลใช้สนับสนุนคือ หากเรายอมรับว่า 2+2 = 5 แล้ว เราก็ลบ 2 ออกได้จากทั้งสองฝั่ง เหลือ 2 = 3 สลับข้างกันได้ว่า 3 = 2 แล้วหักออกข้างละ 1 ได้ว่า 2=1 และเพราะว่าโปปกับรัสเซลเป็นคนสองคน และ 2=1 โปปกับรัสเซลจึงเป็นคนเดียวกัน ดังนั้น รัสเซลคือโปป! นี่เป็นตัวอย่างที่ดีอันหนึ่งว่าเหตุใดระบบตรรกศาสตร์ที่ไม่ถูกต้องคงเส้นคงวาจึงไม่มีประโยชน์ในการได้มาซึ่งค่าความจริง

แต่เหตุใดฮิลเบิร์ตจึงต้องใส่ใจกับเรื่องนี้ ? นับตั้งแต่ครั้งยูคลิดเป็นต้นมาเป็นอย่างน้อย นักคณิตศาสตร์ใช้วิธีการที่สร้างความกังวลให้ฮิลเบิร์ตอย่างประสบความสำเร็จมาแล้ว แล้วทำไมจึงต้องมากังวลอะไรกันตอนนี้? 2+2 จะกลายเป็น 4.007 ได้ปุบปับหรือ ? หรือว่าผลบวกของมุมภายในสามเหลี่ยมจะต่างไปจาก 180 องศา ? ที่จริงแล้ว คำถามเรื่องสามเหลี่ยมนี่เองที่เป็นหนึ่งในตัวจุดประกาย ซึ่งในที่สุดได้สร้างความความกังวลใจให้ฮิลเบิร์ต ในช่วงต้นของศตวรรษที่ 19 นักเรขาคณิต Janos Bolyai และ Nikolai Labachevski ได้ต่างคนต่างค้นพบว่า มีวิธีอันถูกต้องคงเส้นคงวาในการพูดถึงเรื่องจุดและเส้นตรงในแบบที่ต่างไปจากวิธีของยูคลิดได้ ซึ่งสิ่งนี้เป็นแนวคิดตรงข้ามกับความคิดความเชื่อโดยทั่วไป และใน "เรขาคณิตแบบไม่ใช่ยูคลิด" นี้เอง ที่ผลบวกของมุมภายในของสิ่งที่เป็น "สามเหลี่ยม" อาจจะน้อยกว่า 180 องศา (เรขาคณิตแบบไฮเปอร์โบลิค) หรือมากกว่า 180 องศา (เรขาคณิตแบบอีเลปติก) ก็ได้

ดังนั้น แม้ว่าเรขาคณิตของยูคลิดจะมีประโยชน์ต่อโลกจริงๆ แต่ก็มิได้จะเป็น "จริง" มากไปกว่าแนวคิดคู่แข่ง อย่างน้อยก็ในจักรวาลของสิ่งของทางคณิตศาสตร์ และที่จริงแล้ว แม้แต่ในโลกจริง เรขาคณิตแบบไม่ใช่ยูคลิดจะเกิดขึ้น เมื่อเราเริ่มพิจารณาวัตถุในระดับจักรวาล อย่างเช่น จากการสังเกตในปัจจุบันเกี่ยวกับการกระจายตัวของวัตถุในเอกภพ ดูแล้วน่าจะเป็นไปได้อย่างมาก ที่โครงสร้างขนาดใหญ่ของเอกภพเป็นไปตามเรขาคณิตของ Bolyai กับ Lobachevski มากกว่า ซึ่งหากกำหนดเส้นตรงใดๆ และจุดหนึ่งจุดที่ไม่อยู่บนเส้นตรงนั้น เราสามารถวาดเส้นตรงที่ผ่านจุดๆ นั้นและขนานไปกับเส้นตรงนั้นได้จำนวนนับไม่ถ้วน (ขนานหมายความว่าไม่ตัดกัน -ผู้แปล) ซึ่งเป็นสิ่งตรงข้ามกับยูคลิด ที่จะมีเพียงเส้นขนานได้เพียงเส้นเดียวเท่านั้น

ทางเลือกของเรขาคณิตแบบอื่นๆ ทำให้เกิดคำถามถึงความสัมพันธ์ระหว่างวัตถุทางคณิตศาสตร์กับโลกภายนอก เพราะโดยนิยามแล้ว เอกภพคือโลกความจริง ทว่าจุด เส้นขนาน และสามเหลี่ยมดูจะไม่เป็นสิ่งจริงจังได้เทียบเท่า และมีอยู่จริงในจิตใจได้เท่ากับที่จะอยู่ในโลกของวัตถุและชีวิตประจำวัน แต่สิ่งที่รบกวนจิตใจฮิลเบิร์ตมากกว่าเรขาคณิตแบบไม่ยูคลิด คือพาราดอกซ์ทางตรรกศาสตร์ที่ค้นพบโดยเบอร์แทรน รัสเซล และผู้ติดตาม เพียงไม่นานหลังจากเปลี่ยนศตวรรษ ปริศนาตรรกศาสตร์เหล่านี้แสดงตัวอย่างได้โดยพาราดอกซ์ของช่างตัดผม "ช่างตัดผมในหมู่บ้าน ตัดผมให้ทุกคนในหมู่บ้านที่ไม่ตัดผมให้ตัวเอง ใครเป็นคนตัดผมให้ช่างตัดผม?" เมื่อเราลองคิดความน่าจะเป็นทางตรรกแล้ว เราพบว่าถ้าช่างตัดผมตัดผมให้ตัวเองแล้ว แปลว่าเขาไม่ได้ตัดผมให้ตัวเอง และเป็นจริงในทางกลับกัน

วิธีมาตรฐานของการอนุมานทางคณิตศาสตร์ อ่อนแอเกินกว่าจะตัดสินแม้แต่คำถามที่ดูง่ายดายเช่นพาราดอกซ์ของช่างตัดผมนี้ได้ อย่างไรก็ตาม วิธีการมาตรฐานเหล่านี้คือเครื่องมือในการได้มาซึ่งบทพิสูจน์ นี่จึงเป็นเหตุให้ฮิลเบิร์ตและอีกหลายคนเริ่มกังวลเกี่ยวกับความเป็นเหตุเป็นผลของวงการคณิตศาสตร์ ดังคำของฮิลเบิร์ตว่าไว้ "ทุกปัญหาทางคณิตศาสตร์จักต้องลงเอยในลักษณะหนึ่ง ถ้าไม่ใช่การลงเอยในรูปของคำตอบแน่นอนของปัญหา ก็ต้องโดยบทพิสูจน์ของความเป็นไปไม่ได้ของเฉลยนั้น" แต่ในกรอบของตรรกศาสตร์คลาสสิคแล้ว พาราดอกซ์ของช่างตัดผมเป็นปัญหาที่ตัดสินค่าความถูกต้องไม่ได้ (undecidable) ดังนั้น ฮิลเบิร์ตจึงท้าทายเพื่อนร่วมงาน ให้นำความจริงทางคณิตศาสตร์ทุกข้อมาทำให้เป็นหลักการ ในวิธีที่จะทำให้ไม่มีทางที่ประโยคพาราดอกซ์เช่นที่รัสเซสได้บอกไว้ในภาษาและวิธีคิดธรรมดา ได้มีวันเกิดขึ้นในคณิตศาสตร์

ทว่า ผลนั้นกลับกลายเป็นอย่างอื่นโดยสิ้นเชิง เพียงไม่ถึงสามปีนับจากการกล่าวของฮิลเบิร์ต เคิร์ท โกเดล นักตรรกศาสตร์หนุ่มชาวออสเตรีย ทำให้โลกคณิตศาสตร์ประหลาดใจด้วยการตีพิมพ์รายงานอันปฏิวัติความคิด ที่เปลี่ยนความฝันดีที่สุดของฮิลเบิร์ตเป็นฝันร้าย เราลองมาดูกันก่อนว่าประโยคทางคณิตศาสตร์ แม้แต่ในการคิดเลข ว่าเป็นจริงได้ -แต่พิสูจน์ไม่ได้ทางคณิตศาสตร์ ได้อย่างไร