ความน่าจะเป็นนั้นน่าทึ่งและสนุกมาก นับตั้งแต่จุดเริ่มต้นของการพัฒนาศาสตร์นี้ที่มาจากนักพนัน เพราะความน่าจะเป็นขึ้นกับโอกาสและความไม่แน่นอน อีกนัยหนึ่งก็คือจากเหตุการณ์ที่เกิดอย่างสุ่ม (randomness) เนื้อหาในหนังสือพูดถึงประวัติความเป็นมาที่มนุษย์ค่อยๆ ทำความเข้าใจต่อความน่าจะเป็น นับตั้งแต่เรื่องลูกเต๋าหรือเครื่องมืออื่น จนถึงการพัฒนาเครื่องที่สร้างค่าสุ่มที่ซับซ้อนขึ้น รวมถึงความเป็นมาของแนวคิดสำคัญต่างๆ เช่นกราฟระฆังที่แสดงการแจกแจกปรกติ (normal distribution) กราฟไคสแควร์ ทีสแควร์ และการนิยามความหมายของความสุ่มที่มีวิถีทางยากเย็นอย่างไม่น่าเชื่อ ผู้อ่านจะได้ทราบเกร็ดต่างๆ ว่ามีนักคิดคนสำคัญหลายคนได้มีส่วนพัฒนาความน่าจะเป็น เช่นกาลิเลโอ, เฟอร์มาต์, จอน วอน นิวแมน และได้รู้พาราดอกซ์ในเรื่องความน่าจะเป็นว่าเหตุใดเรื่องนี้จึงมักอยู่ตรงข้ามความคิดของมนุษย์เสมอ

หนังสือเล่มนี้ไม่ได้สอนความน่าจะเป็นในทางคณิตศาสตร์ และไม่ได้แม้แต่จะแนะนำเรื่องความน่าจะเป็นใดๆ เนื้อหาทางคณิตศาสตร์จึงมีน้อยมาก ผู้เขียนน่าจะเขียนหนังสือเล่มนี้ให้คนทั่วไปอ่าน ซึ่งไม่จำเป็นต้องมีความรู้ใดๆ เกี่ยวกับความน่าจะเป็นมาก่อน ผู้เขียนจึงอธิบายให้เข้าใจง่ายมาก และหากมีเนื้อหาที่ไปแตะต้องคณิตศาสตร์ ผู้เขียนก็จะไม่อธิบายไปเลย หรือถ้าอธิบายก็จะบอกละเอียดลอออย่างยิ่ง ผู้สนใจหาความท้าทายหรือความรู้ทางคณิตศาสตร์อาจผิดหวังกับหนังสือเล่มนี้ แต่ผู้อ่านที่สนใจอยากทราบประวัติความน่าจะเป็น จะได้ความรู้ที่น่าสนใจมาก เป็นเกร็ดที่หาไม่ได้จากหนังสือความน่าจะเป็นเล่มไหนๆ

แต่ถึงหนังสือเล่มนี้จะเขียนให้อ่านเข้าใจง่าย ผู้อ่านที่จะประทับใจได้ก็น่าจะมีพื้นฐานทางความน่าจะเป็นมาบ้าง เพราะหากผู้อ่านไม่ทราบถึงประโยชน์ของตารางค่าสุ่ม (random number) ว่าคืออะไรและเอาไปทำอะไร การได้รู้ว่าความเป็นมายากเย็นอย่างไรก็ไม่น่าจะช่วยให้ประทับใจได้ ศัพท์บางคำก็ยังเป็นศัพท์เฉพาะที่ไม่อาจคาดเดาได้ว่าจะทำให้ผู้อ่านที่ไม่มีพื้นฐานมาก่อนเข้าใจว่าอย่างไร

หนังสือเล่มนี้บอกความคิดที่น่าสนใจไว้หลายประการ เช่นเรื่องของโอกาสว่ามีอยู่จริง หรือที่จริงแล้วทุกอย่างในโลกล้วนมีกฎเกณฑ์บังคับอยู่ เพียงแต่มนุษย์ไม่เดียงสาต่อกฎเกณฑ์นั้น จึงได้คิดเอาว่าเหตุการณ์นั้นเกิดอย่างสุ่ม และยังมีปัญหาพาราดอกซ์ความน่าจะเป็นที่น่าสนใจ อย่างเช่นเรารู้ไหมว่าหากเราอยู่ในกลุ่มคนยี่สิบห้าคน ความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยสองคนในกลุ่มจะมีวันเกิดวันเดียวกันมีสูงถึงห้าสิบเจ็ดเปอร์เซ็นต์ นั่นคือมีเกินครึ่ง เรื่องนี้ฟังดูแล้วไม่น่าเชื่อเพราะคนเรามักจะคิดถึงคำถามนี้ในทางที่ว่า ความน่าจะเป็นที่จะมีคนอื่นในกลุ่มนี้เกิดวันเดียวกับเราเป็นเท่าใด แต่คำถามนี้ไม่ได้อยู่ที่วันเกิดเรา อยู่ที่วันเกิดใครก็ได้ในยี่สิบห้าคน ความน่าจะเป็นจึงเป็นได้มาก (มีค่าเท่ากับ 1 - ความน่าจะเป็นที่ไม่มีใครเกิดวันเดียวกันเลย นั่นคือเท่ากับ 1 - (365 x 364 x 363 x...x 342 x 341 / 365²⁵) )

หนังสือเล่มนี้ยังอธิบายพาราดอกซ์ของคนคุกได้ดีที่สุดที่เคยพบเห็นมา ซึ่งปัญหานี้นำเสนออีกแบบได้เป็นปัญหา Monty Hall ซึ่งตั้งชื่อตามชื่อพิธีกรรายการ Let's Make a Deal มีคนถามปัญหานี้กับ Marilyn vos Savant ในคอลัมน์ของเธอในนิตยสารพาเหรด ในเดือนกันยายนปี 1990 และนิวยอร์กไทมส์ก็บอกว่าปัญหาและคำเฉลยของมาริลีนได้เป็นที่ถกกันไปทั่วตั้งแต่ที่ซีไอเอจนถึงฐานนักบินในสงครามอ่าวเปอร์เซีย ตั้งแต่นักคณิตศาสตร์ของเอ็มไอทีจนถึงนักโปรแกรมคอมพิวเตอร์ที่ห้องแล็บ Los Alamos ในนิวเม็กซิโก มาริลีนนั้นโด่งดังมากจากกินเนสว่าเป็นผู้ที่มีไอคิวสูงที่สุดในโลก เราลองมาดูว่าปัญหานี้คืออะไร

สมมติว่าเราไปเล่นเกมโชว์ เราต้องเลือกประตูหนึ่งบานจากสามประตู ซึ่งประตูหนึ่งในนั้นจะเปิดเป็นรถ อีกสองประตูจะเปิดไปเจอแพะ สมมติเราเลือกประตูบานที่หนึ่ง และพิธีกรที่รู้อยู่ว่าหลังประตูแต่ละบานเป็นอะไรบ้าง ก็เปิดประตูอีกบาน สมมติเป็นบานที่สาม ซี่งมีแพะอยู่ พิธีกรถามเราว่า "คุณอยากเปลี่ยนเป็นเลือกประตูสองแทนหรือไม่ ?" คำถามคือเราควรจะเปลี่ยนประตูเพื่อให้ได้เปรียบกว่าหรือไม่ ?

มาริลีนตอบว่าเราควรเปลี่ยนประตูไปเลือกบานสองแทน หากเป็นคุณ คุณจะเปลี่ยนประตูหรือไม่ ?

คำถามนี้เป็นพาราดอกซ์ความน่าจะเป็นที่คลาสสิกมาก ที่บอกว่าถึงแม้กฎเกณฑ์ทางคณิตศาสตร์จะออกมาแบบนี้ แต่คนเราทำใจให้เชื่อและเข้าใจตามนั้นได้ยากเหลือเกิน เพราะมนุษย์เรามีเหตุผลตรรกะของตัวเองต่างหาก และมีอารมณ์ที่ไขว้เขวความจริงทางตัวเลขได้

หนังสือเล่มเล็กนี้อ่านง่ายอ่านเพลิน รูปเล่มสวย ภาพประกอบดี อธิบายเข้าใจง่าย ทำให้คนอ่านประทับใจได้ตั้งแต่หน้าสองที่ต้องไปหยิบกระดาษกับปากกามาคิดเลข อยากแนะนำผู้สนใจให้อ่านกันดู มีความน่าจะเป็นว่าคุณอาจชอบหนังสือเล่มนี้ได้เช่นกัน

* หมายเหตุ : ปัญหาเปิดประตูจะบอกคำตอบที่ท้ายหน้านี้
 

เกี่ยวกับผู้เขียน Deborah J. Bennett เดบอราห์ เจ. เบนเนตต์ เกิดปี 1950 จบปริญญาเอกสาขาการสอนคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยนิวยอร์ก ปัจจุบันเป็นอาจารย์ภาคคณิตศาสตร์ที่วิทยาลัยรัฐเมืองเจอร์ซีย์

RANDOMNESS : Deborah J. Bennett
ISBN 0674107462 Harvard University Press, 238 pages $14.50 Paperback

Is a random outcome completely determined, and random only by virtue of our ignorance of the most minute contributing factors? Or are the contributing factor unknowable, and therefore render as random an outcome that can never be determined? Are seemingly random events merely the result of fluctuations superimposed on a determinate system, masking its predictability, or is there some disorderliness built into the system itself?
Deborah J. Bennett . . . Randomness

Copyright © 2001 faylicity.com

สมมติว่าเราไปเล่นเกมโชว์ เราต้องเลือกประตูหนึ่งบานจากสามประตู ซึ่งประตูหนึ่งในนั้นจะเปิดเป็นรถ อีกสองประตูจะเปิดไปเจอแพะ สมมติเราเลือกประตูบานที่หนึ่ง และพิธีกรที่รู้อยู่ว่าหลังประตูแต่ละบานเป็นอะไรบ้าง ก็เปิดประตูอีกบาน สมมติเป็นบานที่สาม ซี่งมีแพะอยู่ พิธีกรถามเราว่า "คุณอยากเปลี่ยนเป็นเลือกประตูสองแทนหรือไม่ ?" คำถามคือเราควรจะเปลี่ยนประตูเพื่อให้ได้เปรียบกว่าหรือไม่ ?

* ปัญหาเปิดประตูในเกมโชว์ เราทราบว่าโอกาสที่ประตูแต่ละบานจะเปิดไปเจอรถมีอยู่ประตูละ 1/3 (นั่นคือโอกาสที่ประตูที่หนึ่งจะเป็นรถเป็น 1/3 โอกาสที่ประตูบานที่สองจะเป็นรถเป็น 1/3 ...) หากคิดเป็นภาพจะได้ดังนี้
 

เราดูตารางในกรณีที่พิธีกรจะเปิดประตูสามเป็นแพะ นั่นคือกรณี 1b กับ 2 เมื่อพิจารณาทั้งสองกรณีนี้ จะเห็นว่า
โอกาสที่ประตูที่หนึ่งจะเป็นรถ (กรณี 1b) มีความน่าจะเป็น 1/6 ของความน่าจะเป็นทั้งหมด(จาก 1b และ 2) คือ 1/6 + 1/3
ดังนั้นโอกาสที่ประตูบานที่หนึ่งจะเป็นรถ = (1/6) / [1/6 + 1/3] = 1/3
แปลว่าโอกาสที่ประตูบานที่หนึ่งจะได้รถไม่ได้เปลี่ยนแปลงไป หลังจากการเปิดเผยของพิธีกรว่าประตูสามเป็นแพะ

แต่หากดูโอกาสที่ประตูที่สองจะเป็นรถ (กรณี 2) เราเห็นได้ว่าความน่าจะเป็นมี 1/3 นั่นคือเป็นสองเท่าของโอกาสที่บานที่หนึ่งจะเป็นรถ เมื่อคำนวณตามวิธีข้างต้น จะได้ว่าโอกาสที่ประตูสองจะเป็นรถ = (1/3) / [1/6 + 1/3] = 2/3 นั่นคือโอกาสที่ประตูสองเป็นรถ มีค่าเป็นสองเท่าของโอกาสที่ประตูแรกจะเป็นรถ

ดังนั้นเราจึงควรเปลี่ยนประตู

และไม่สำคัญว่าประตูบานไหนจะเปิด ปัญหานี้จะได้คำตอบเดียวกัน นั่นคือหากเราเลือกประตูบานใดบานหนึ่ง แล้วพิธีกรเปิดประตูอีกบานหนึ่งให้เราเห็นแพะ โอกาสที่ประตูที่เหลืออีกบานจะเป็นรถนั้นมีอยู่สูงกว่าประตูบานแรกเริ่มที่เราเลือกถึงสองเท่า เราจึงควรเปลี่ยนทางเลือกเสมอ เหตุที่เป็นเช่นนี้ก็เพราะว่าไม่ว่าพิธีกรจะบอกประตูบานใดกับเรา นั่นไม่เปลี่ยนโอกาสที่เราจะได้รถ (ยังคงเป็นหนึ่งในสามอยู่ดี) แต่การกลับกลายเป็นว่าประตูที่เหลืออยู่จะมีโอกาสเป็นรถมากขึ้น และหากปัญหานี้จะทำให้ผู้อ่านรู้สึกแปลกใจก็นับว่าไม่ใช่เรื่องน่าประหลาดใจอะไร เพราะพาราดอกซ์ก็มีธรรมชาติเช่นนี้แล - Fay