การพิสูจน์เป็นสิ่งสักการะบูชาที่นักคณิตศาสตร์ทรมานตัวเองให้
Proof is an idol before which the mathematician tortures himself.
        -- Sir Arthur Eddington

เป็นเรื่องน่าตื่นเต้นในวงการคณิตศาสตร์อีกครั้ง เมื่อมีข่าวว่าอาจมีผู้พิสูจน์เรื่อง Twin Prime Conjecture (คู่แฝดของเลขจำนวนเฉพาะ) ได้สำเร็จ ศาสตราจารย์ Richard Arenstorf จากมหาวิทยาลัยแวนเดอร์บิลท์ ในอเมริกา ได้เสนอบทพิสูจน์ความยาว 38 หน้ากระดาษเมื่อวันที่ 26 พฤษภาคม หากบทพิสูจน์นี้ถูกต้องจริง ก็จะเป็นความก้าวหน้าที่สำคัญของวงการคณิตศาสตร์ และเป็นความก้าวหน้าในการเรียนรู้เกี่ยวกับจำนวนเฉพาะที่สำคัญที่สุดในรอบ 80 ปี

จำนวนเฉพาะเป็นตัวเลขที่น่าทึ่งของมนุษย์อยู่เสมอมา จำนวนเฉพาะคือเลขบวกที่มีค่ามากกว่าหนึ่ง ที่ไม่มีใครอื่นหารมันลงตัวได้ ยกเว้นแต่ 1 และตัวมันเอง ยกตัวอย่างเช่น 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19 เนื่องจากตัวเลขทุกตัวในโลกสามารถแสดงได้ในรูปผลคูณของจำนวนเฉพาะ หรือไม่ก็ตัวมันเอง เช่น 17 = 17, 24 = 3 x 2 x 2 x 2 ดังนั้นจึงเรียกได้ว่าจำนวนเฉพาะเป็นรากฐานของระบบตัวเลข หากนึกภาพว่าตัวเลขเป็นตัวต่อเลโก้ ชิ้นส่วนที่ประกอบกันเป็นตัวเลขต่างๆ ก็คือเลขจำนวนเฉพาะนั่นเอง

ปัญหาเรื่องคู่แฝดจำนวนเฉพาะ เป็นการคาดเดาว่าน่าจะมีจำนวนเฉพาะ p อยู่มากมายไม่จำกัด โดยที่ p+2 ย่อมเป็นจำนวนเฉพาะด้วย

ตัวอย่างเช่น 5 เป็นจำนวนเฉพาะ แต่ 5+2 ก็เป็นจำนวนเฉพาะด้วย ดังนั้นเรียกได้ว่า 5 กับ 7 เป็นแฝดกันในฐานะเลขจำนวนเฉพาะ ตัวอย่างอื่นก็เช่น 3, 5 และ 29, 31 คำถามก็คือว่าคำกล่าวนี้เป็นจริงหรือไม่ นั่นคือเราสามารถพบคู่แฝดนี้ได้อย่างไม่จำกัดหรือไม่ หรือว่าจะมีจุดหนึ่งที่เราจะไม่พบคู่แฝดนี้อีกเลยตลอดไป คำถามนี้ยอกใจนักคณิตศาสตร์มาร่วมสองร้อยปี
 

ปัญหาที่คลาสสิกในทางคณิตศาสตร์นั้น มักมีลักษณะร่วมกันตรงที่เข้าใจง่าย ไม่ต้องเป็นนักคณิตศาสตร์ชั้นสูงอะไรก็เข้าใจคำถามได้ง่ายๆ แต่ความยากคือในคำพูดที่ดูง่ายนั้น กลับเป็นเรื่องที่พิสูจน์ยากเย็นสิ้นดี ตัวอย่างก็เช่น Fermat's Last Theorem ที่คนเก่งๆ พยายามพิสูจน์กันมาสามร้อยกว่าปี กว่าจะพิชิตปัญหานี้ได้สำเร็จในปี 1994 โดย แอนดรูว์ ไวลส์ และ Goldbach Conjecture ที่ยังพิสูจน์กันไม่สำเร็จจนทุกวันนี้

นอกจากนั้นแล้ว ปัญหาคลาสสิกเหล่านี้มีแนวโน้มว่าจะเป็นจริง แต่เราไม่สามารถบอกได้ว่าจริง จนกว่าจะหาทางพิสูจน์ได้ นักคณิตศาสตร์เชื่อว่าจะมีคู่แฝดจำนวนเฉพาะอยู่อย่างอนันต์ เนื่องจากการกระจายตัวของความน่าจะเป็นที่จะพบจำนวนเฉพาะ บอกเราอย่างนั้น

หากสมมติว่าเราเดินทางท่องไปในโลกของตัวเลข โดยไล่ไปจากเลข 1 2 3 4 ไปเรื่อยๆ เราจะพบว่าแรกๆ ก็จะเจอตัวเลขที่เป็นจำนวนเฉพาะบ่อยๆ แต่ยิ่งเดินเรื่อยไปเราก็จะยิ่งเจอน้อยลง แต่ก็แปลกว่าบางทีเราจะเจอจำนวนเฉพาะกระจุกตัวกันแน่นในบางพื้นที่ แต่บางทีต้องเดินไปอีกตั้งไกลว่าจะเจอจำนวนเฉพาะตัวต่อไป

นักคณิตศาสตร์พบว่าเมื่อเราเจอจำนวนเฉพาะ p ใดๆ แล้ว ระยะทางเฉลี่ยที่เราต้องเดิน กว่าจะไปเจอจำนวนเฉพาะตัวต่อไป คิดได้เป็น ln(p) หรือ ลอการิทึมธรรมชาติของ p แต่อย่าลืมว่านี่เป็นค่าเฉลี่ยเท่านั้น นั่นแปลว่าบางทีเราก็ต้องเดินไกลหน่อยกว่าจะเจอจำนวนเฉพาะตัวต่อไป แต่บางทีเดินนิดเดียวก็จะเจอ

คู่แฝดจำนวนเฉพาะถามเราว่าการเดินไปแค่สองก้าวก็เจอนั้น (p+2) จะมีอยู่เสมอไปหรือไม่

ในการพิสูจน์ปัญหายากๆ นั้น นักคณิตศาสตร์ใช้การพิสูจน์แบบบางส่วนเข้ามา คือค่อยๆ คืบหน้าไปใกล้ความจริงเรื่อยๆ ดังนั้นนักคณิตศาสตร์ก็พยายามแสดงว่า มีจำนวนเฉพาะอยู่ไม่จำกัดที่อยู่ห่างจากจำนวนเฉพาะตัวต่อไป เป็นระยะ x เมื่อใดที่เราลดระยะ x ให้เป็น 2 ได้ เมื่อนั้นเราก็จะพิสูจน์เรื่องคู่แฝดจำนวนเฉพาะได้

ในปี 1940 Erdo แสดงว่าเราจะพบจำนวนเฉพาะได้ไม่จำกัด ที่มันห่างจากจำนวนเฉพาะตัวต่อไปเป็นระยะ c ln(p) เมื่อ c เป็นค่าที่น้อยกว่าหนึ่ง ในปี 1986 Maier บอกว่า c เป็น 0.25 ได้

นอกจากนั้นยังมีการมองปัญหาในรูปแบบอื่นที่เท่าเทียมกัน นั่นคือแต่งตัวให้ปัญหานั้นเป็นอีกอย่างหนึ่ง และพยายามพิสูจน์รูปแบบใหม่นั้น เมื่อพิสูจน์ได้ก็เท่ากับว่าเราพิสูจน์ปัญหาเดิมได้ (แต่ต้องมีการพิสูจน์ด้วยว่าการแต่งตัวใหม่ให้ปัญหาเดิมนั้น เท่าเทียมกันจริง)

บางคนอาจจะนึกแล้วว่าอะไรกันนี่ พิสูจน์กันไปกันมา มีความสุขมากหรือ คำตอบก็คือไม่ใช่ การพิสูจน์นั้นสร้างความทรมานได้สาหัส แต่ผลของการค้นพบนั้นน่าชื่นใจนัก ยิ่งเป็นการค้นพบสิ่งที่ใครๆ ในโลกก็อยากค้นพบ ก็ทำให้การพิสูจน์เป็นเรื่องน่าตื่นเต้นไม่น้อย

ไวลส์ ผู้พิสูจน์ Fermat's Last Theorem ที่ได้ชื่อว่าเป็นปริศนาที่ยากที่สุดในโลกได้สำเร็จ เห็นปริศนานี้ตั้งแต่เขายังเป็นเด็กๆ เนื่องจากปัญหาคลาสสิกล้วนแต่เข้าใจง่าย ดังนั้นแม้จะเป็นเด็กประถมอย่างเขาก็เข้าใจได้ ไวลส์ตั้งหน้าตั้งตาพิสูจน์โดยใช้ความรู้เท่าที่มี แต่ก็ทำไม่สำเร็จ แต่ความหลงใหลต่อปัญหานี้ได้จับใจเขาไปจนโต ไวลส์เป็นคนอังกฤษ ต่อมาได้เป็นศาสตราจารย์ในมหาวิทยาลัยปรินซ์ตัน เมื่อเขาพิสูจน์ทฤษฎีของเฟอร์มาต์ได้สำเร็จ เขากล่าวไว้ว่า

"ผมโชคดีที่สามารถติดตามความฝันในวัยเด็กได้แม้จะอยู่ในวัยผู้ใหญ่ ผมรู้ว่านี่เป็นโชคดีที่ไม่ได้มีกันง่ายๆ แต่หากคุณเอาชนะสิ่งที่มีความหมายต่อคุณมากในวัยผู้ใหญ่ได้ นั่นก็เป็นเรื่องที่ชื่นใจอย่างยิ่ง การแก้ปัญหานี้ได้ก็มีความรู้สึกสูญเสียอยู่ในนั้น แต่ก็มีความเป็นอิสระด้วยเช่นกัน ผมหมกมุ่นกับปัญหานี้อยู่ตลอดแปดปี โดยคิดถึงมันตลอดเวลา -- ตั้งแต่ตอนตื่นมาจนกระทั่งเข้านอน ซึ่งเป็นเวลายาวนานมากในการคิดถึงอะไรสักอย่างอยู่อย่างเดียว โอดิสซีนั้นจบสิ้นลงแล้ว จิตใจผมจะได้พักแล้ว"

จากนี้ไป นักคณิตศาสตร์ต่างๆ ก็คงจะสนใจศึกษาบทพิสูจน์ของ อเรนสตอร์ฟ เพื่อดูว่ามีที่ผิดหรือจุดบกพร่องตรงใดหรือไม่ ซึ่งกว่าจะพบก็อาจจะเป็นอีกหลายเดือนนับจากนี้ แต่ถ้าใครๆ ก็เห็นว่าสิ่งที่เขาพิสูจน์นั้นถูกต้องโดยไม่มีข้อผิดพลาด ความเข้าใจของเราต่อเรื่องทฤษฎีจำนวนก็จะได้พัฒนาไปอีกก้าว

ใครมีบุตรหลานที่เรียนเลขแล้วอยากให้ลูกหมกมุ่นกับคณิตศาสตร์ ก็ลองเอาปัญหาที่ยังแก้ไม่ตกทางคณิตศาสตร์ไปให้ไขเล่นๆ ดูได้ ผู้เขียนเคยมีอาจารย์คนหนึ่งที่ชอบให้การบ้านนักศึกษามาเป็นปัญหาที่ยังไม่มีใครในโลกแก้ได้สำเร็จ แต่เนื่องจากนักศึกษาไม่รู้ทัน จึงพยายามไปคิดกันมา เมื่อถึงเวลาส่งการบ้านก็ไม่มีใครทำได้สำเร็จเลย อาจารย์ก็ทำเป็นใจดี ให้เวลาเพิ่มอีกหนึ่งอาทิตย์ ภายหลังเราจึงมารู้ไต๋กันว่าอาจารย์คงหวังว่าในพวกเราจะมีใครฟลุ้คขึ้นมาบ้าง และการแก้ไขปัญหาด้วยสติปัญญาน้อยๆ อย่างนักศึกษา ก็อาจเป็นการแก้ปัญหามุมใหม่ที่คนฉลาดๆ ยังไม่ได้ลอง ซึ่งพวกเราอาจจะแก้ได้ก็ได้ แต่ความฟลุ้คที่ว่านั้นก็ยังไม่มีมาให้เห็น

บทพิสูจน์ของ อเรนสตอร์ฟ ย่อมต้องไม่ใช่เรื่องฟลุ้ค ถึงวันนี้ จิตใจของเขาคงเต้นแรงและหวั่นใจปะปนกับตื่นเต้นหาน้อยไม่ ว่าจะมีใครประกาศว่าบทพิสูจน์ของเขามีข้อผิดพลาดหรือไม่ กว่าจะเปิดเผยกับสาธารณชน เขาย่อมต้องตรวจดูแล้วตรวจดูอีก และถ้าไม่ลึกลับมาก ก็ต้องมีการให้นักคณิตศาสตร์อื่นๆ ช่วยอ่านอีกด้วย จะได้ไม่หลุดความผิดพลาดไป คนเราจะเก่งกาจเพียงใดก็รู้พลาดพลั้งได้ทุกคน

ใครที่สนใจก็ลองไปอ่านบทพิสูจน์นี้ดูได้ อ่านเข้าใจแล้วอย่าลืมมาเล่าให้พวกเราฟังด้วย

พบข้อผิดพลาดในบทพิสูจน์ของ อเรนสตอร์ฟ โพสต์เมื่อ 16 มิถุนายน 2547

Gerald Tenenbaum นักคณิตศาสตร์จากฝรั่งเศส พบข้อผิดพลาดในบทพิสูจน์ (ผิดที่บทตั้ง (Lemma) ที่ 8 หน้า 35) ของ อเรนสตอร์ฟ ดังนั้นจึงแปลว่าเรายังไม่พบข้อพิสูจน์ในเรื่องคู่แฝดจำนวนเฉพาะกันอยู่ดี

เป็นเรื่องธรรมดาที่ข้อผิดพลาดนั้นพบกันได้ คำถามต่อมาก็คือว่าเมื่อพบแล้ว สามารถจะซ่อมได้ง่ายๆ หรือไม่ หากซ่อมได้ก็ซ่อมเสียให้ถูกต้อง ดังเช่นบทพิสูจน์ของ Fermat's Last Theorem เช่นกัน ที่พบข้อผิดพลาด และไวลส์ได้กลับไปแก้ไขอยู่ครึ่งปี ก่อนจะประกาศออกมาใหม่และแก้ปริศนาของเฟอร์มาต์ได้สำเร็จ

แต่เทนเนบอมบ์ ผู้ชี้ความผิดพลาดให้ บอกว่าความผิดในบทพิสูจน์ของ อเรนสตอร์ฟ นี้ ไม่น่าจะแก้ได้ง่ายๆ และจะมีผลอย่างสำคัญต่อบทพิสูจน์โดยรวม ดังนั้นก็อาจเป็นได้ว่าเราต้องใช้หนทางอื่นในการพิสูจน์ และสักวัน ก็อาจจะมีใครพิสูจน์ได้สำเร็จจริงๆ ขึ้นมาก็ได้

ถ้าถึงวันนั้นแล้ว เพลินจะมาเล่าให้ฟัง

* อ่านรายละเอียดเพิ่มเติมได้ที่ Twin Prime Proof Proffered
 

Copyright © 2004 faylicity.com